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2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版:第三章 圆锥曲线与方程 §2 2.1

发布时间:

§2 抛物线
2.1 抛物线及其标准方程
学*目标  1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3. 明确抛物线标准方程中参数 p 的几何意义,并能解决简单的求抛物线标准方程的问题.

知识点一 抛物线的定义 (1)*面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)距离相等的点的集合叫作抛物线.点 F 叫 作抛物线的焦点,这条定直线 l 叫作抛物线的准线. (2)定义的实质可归纳为“一动三定”:一个动点,设为 M;一个定点 F(抛物线的焦点); 一条定直线(抛物线的准线);一个定值(即点 M 到点 F 的距离与它到定直线 l 的距离之比等 于 1∶1). 知识点二 抛物线的标准方程 思考 抛物线的标准方程有何特点? 答案 (1)是关于 x,y 的二元二次方程,且只有一个二次项,一个一次项,根据*方项可 以确定一次项的取值范围.(2)p 的几何意义是焦点到准线的距离. 梳理 由于抛物线焦点位置不同,方程也就不同,故抛物线的标准方程有以下几种形式: y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0). 现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下:

标准方程 y2=2px(p>0)

y2=-2px(p>0)

x2=2py(p>0)

x2=-2py(p>0)

图形

焦点坐标
准线方程 p 的几何
意义

( )p ,0 2
p x=-2

( )p
- ,0 2 p
x=2

( )p
0, 2 p
y=-2

焦点到准线的距离

( )p
0,- 2 p
y=2

1.抛物线的方程都是二次函数.(×) 2.抛物线的焦点到准线的距离是 p.(√) 3.抛物线的开口方向由一次项确定.(√)

类型一 抛物线定义及应用

5 例 1 (1)已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点,|AF|=4x0,则 x0 等于(  ) A.1B.2C.4D.8

考点 抛物线定义

题点 抛物线定义的直接应用

答案 A

1 解析 由题意,知抛物线的准线为 x=-4.

5

因为|AF|=4x0,根据抛物线的定义,得

1

5

x0+4=|AF|=4x0,所以 x0=1,故选 A.

(2)若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则 P 点的轨迹方程是(  )

A.y2=-16x

B.y2=-32x

C.y2=16x

D.y2=32

考点 抛物线定义

题点 抛物线定义的直接应用

答案 C

解析 ∵点 P 到点(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,

∴将直线 x+5=0 右移 1 个单位,

得直线 x+4=0,即 x=-4,

∴点 P 到直线 x=-4 的距离等于它到点(4,0)的距离.

根据抛物线的定义,可知 P 的轨迹是以点(4,0)为焦点,以直线 x=-4 为准线的抛物线. p
设抛物线方程为 y2=2px(p>0),可得2=4,得 2p=16, ∴抛物线的标准方程为 y2=16x,

即 P 点的轨迹方程为 y2=16x,故选 C.

反思与感悟 抛物线的判断方法 (1)可以看动点是否符合抛物线的定义,即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距 离. (2)求出动点的轨迹方程,看方程是否符合抛物线的方程. 跟踪训练 1 (1)抛物线 x2=4y 上的点 P 到焦点的距离是 10,则 P 点的坐标为________. 考点 抛物线定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 (6,9)或(-6,9) 解析 设点 P(x0,y0),由抛物线方程 x2=4y, 知焦点坐标为(0,1),准线方程为 y=-1, 由抛物线的定义,得|PF|=y0+1=10, 所以 y0=9,代入抛物线方程得 x0=±6. (2)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 M,点 P 在抛物线上,且 |PM|= 2|PF|,则△PMF 的面积为(  ) A.4B.8C.16D.32 考点 抛物线定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 B 解析 如图所示,可得 F(2,0),

过点 P 作 PN⊥l,垂足为 N.

∵|PM|= 2|PF|,|PF|=|PN|,

∴|PM|= 2|PN|,

∴|PN|=|MN|.

( )t2

t2

,t

设 P 8 ,则|t|= 8 +2,

解得 t=±4,

1

1

∴△PMF 的面积为2×|t|·|MF|=2×4×4=8.

类型二 求抛物线的标准方程

例 2 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.

(1)过点(-3,2);

(2)焦点在直线 x-2y-4=0 上.

考点 抛物线的标准方程

题点 求抛物线的方程

解 (1)设抛物线的标准方程为 y2=-2px 或 x2=2py(p>0),

4

9

又点(-3,2)在抛物线上,∴2p=3或 2p=2,

4

9

∴所求抛物线的标准方程为 y2=-3x 或 x2=2y.

(2)当焦点在 y 轴上时,已知方程 x-2y-4=0,

令 x=0,得 y=-2,∴所求抛物线的焦点为 F1(0,-2), 设抛物线的标准方程为 x2=-2py(p>0),

p 由2=2,得 2p=8,

∴所求抛物线的标准方程为 x2=-8y;

当焦点在 x 轴上时,已知 x-2y-4=0,

令 y=0,得 x=4,∴抛物线的焦点为 F2(4,0), 设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0),

p 由2=4,得 2p=16, ∴所求抛物线的标准方程为 y2=16x.

综上,所求抛物线的标准方程为 x2=-8y 或 y2=16x.

反思与感悟 抛物线标准方程的求法

(1)定义法:建立适当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出方程,进行化

简,根据定义求出 p,最后写出标准方程.

(2)待定系数法:由于标准方程有四种形式,因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴

上,进而确定方程的形式,然后再利用已知条件确定 p 的值.

跟踪训练 2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程.

3 (1)已知抛物线的准线方程是 x=-2; (2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 y=-3 与抛物线交于点 A,|AF|=5.

解 (1)设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0).

3

p3

其准线方程为 x=-2,由题意有-2=-2,故 p=3.

因此标准方程为 y2=6x.

(2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y2=2px(p≠0),A(m,-3),由抛物线定义得
| |p
m+ 5=|AF|= 2 . 又(-3)2=2pm,∴p=±1 或 p=±9,

故所求抛物线的标准方程为 y2=±2x 或 y2=±18x.

类型三 抛物线的实际应用问题

例 3 河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶 5m 时,水面宽为 8m,一小船宽 4m,高

2m,载货后船露出水面上的部分高 0.75m,问:水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米

时,小船开始不能通航?

考点 抛物线的标准方程

题点 抛物线方程的应用

解 如图,以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且*行于水面的直线为 x 轴,建立*面直角坐

8 标系.设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),由题意可知,点 B(4,-5)在抛物线上,故 p=5,

16 得 x2=- 5 y.当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为 AA′,则

16

5

A(2,yA),由 22=- 5 yA,得 yA=-4.又知船面露出水面上的部分高为 0.75m,所以

h=|yA|+0.75=2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 2m 时,小船开始不能通

航.

反思与感悟 涉及拱桥,隧道的问题,通常需建立适当的*面直角坐标系,利用抛物线的 标准方程进行求解. 跟踪训练 3 如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管 O′P=1m,水从喷头 P 喷出后呈 抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面 2m,P 距抛物线的对称轴 1m,则水 池的直径至少应设计多长?(精确到 1m)
考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 解 如图所示,以抛物线状喷泉的最高点为原点,以过原点且*行于水面的直线为 x 轴,

建立*面直角坐标系.

设抛物线方程为 x2=-2py(p>0). 1
依题意有 P(-1,-1)在此抛物线上,代入得 p=2,故抛物线方程为 x2=-y. 又 B 在抛物线上,将 B(x,-2)代入抛物线方程得 x= 2, 即|AB|= 2,则|O′B|=|O′A|+|AB|= 2+1, 因此水池的直径为 2(1+ 2)m,约为 5 m,
即水池的直径至少应设计为 5 m.

1.抛物线 y2=x 的准线方程为(  )

1

1

1

1

A.x=4B.x=-4C.y=4D.y=-4

考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程

题点 求抛物线的准线方程

答案 B

1

1

解析 抛物线 y2=x 的开口向右,且 p=2,所以准线方程为 x=-4.

2.以 F(1,0)为焦点的抛物线的标准方程是(  )

A.x=4y2B.y=4x2C.x2=4yD.y2=4x

考点 抛物线的标准方程

题点 求抛物线的方程

答案 D

解析 ∵抛物线焦点为 F(1,0),

∴可设抛物线方程为 y2=2px(p>0),

p 且2=1,则 p=2,∴抛物线方程为 y2=4x. 3.已知抛物线 x2=4y 上的一点 M 到此抛物线的焦点的距离为 2,则点 M 的纵坐标是(  )

1 A.0B.2C.1D.2

考点 抛物线的定义

题点 抛物线定义的直接应用

答案 C

解析 设 M(xM,yM),根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1),准线方程为 y=-1,根据 抛物线定义,得 yM+1=2,解得 yM=1.

4.一动圆过点(0,1)且与定直线 l 相切,圆心在抛物线 x2=4y 上,则 l 的方程为(  )

1

1

A.x=1B.x=16C.y=-1D.y=-16

考点 抛物线的定义

题点 抛物线定义的直接应用

答案 C

解析 因为动圆过点(0,1)且与定直线 l 相切,所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线 l

的距离相等,又因为动圆圆心在抛物线 x2=4y 上,且(0,1)为抛物线的焦点,所以 l 为抛物

线的准线,所以 l:y=-1.

5.动点 P 到直线 x+4=0 的距离比它到点 M(2,0)的距离大 2,则点 P 的轨迹方程是

________.

考点 抛物线的定义

题点 抛物线定义的直接应用

答案 y2=8x

解析 由题意可知,动点 P 到直线 x+2=0 的距离与它到点 M(2,0)的距离相等,利用抛物

线定义求出方程为 y2=8x.

( )m ,0 1.焦点在 x 轴上的抛物线,其标准方程可以统设为 y2=mx(m≠0),此时焦点为 F 4 , m 准线方程为 x=- 4 ;焦点在 y 轴上的抛物线,其标准方程可以统设为 x2=my(m≠0),此时

( )m

m

0,

焦点为 F 4 ,准线方程为 y=- 4 .

2.设 M 是抛物线上一点,焦点为 F,则线段 MF 叫作抛物线的焦半径.若 M(x0,y0)在抛 物线 y2=2px(p>0)上,则根据抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离

p 可以相互转化,所以焦半径|MF|=x0+2. 3.对于抛物线上的点,利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离,也可以把其

到准线的距离转化为到焦点的距离,因此可以解决有关距离的最值问题.

一、选择题

1.对抛物线 y=4x2,下列描述正确的是(  )

A.开口向上,焦点坐标为(0,1)

( )1
0, B.开口向上,焦点坐标为 16

C.开口向右,焦点坐标为(1,0)

( )1
0, D.开口向右,焦点坐标为 16 考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程

题点 求抛物线的焦点坐标

答案 B

( ) 1

1

0,

解析 由 y=4x2,得 x2=4y,所以开口向上,焦点坐标为 16 .

2.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线的焦点坐标为(  )

A.(-1,0)

B.(1,0)

C.(0,-1)

D.(0,1)

考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程

题点 求抛物线的焦点坐标

答案 B

p

p

解析 抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程为 x=-2,由题设知-2=-1,即 p=2,故焦点坐

标为(1,0),故选 B.

3.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上的点 P(m,-2)到焦点的距离为

4,则 m 的值为(  )

A.4

B.-2

C.4 或-4

D.12 或-2

考点 抛物线的定义

题点 抛物线定义的直接应用

答案 C

解析 由题可设抛物线的标准方程为 x2=-2py(p>0),由定义知点 P 到准线的距离为 4,

p 故2+2=4,∴p=4,∴x2=-8y.将点 P 的坐标代入 x2=-8y,得 m=±4.

1 4.若动圆的圆心在抛物线 y=12x2 上,且与直线 y+3=0 相切,则此圆恒过定点(  )

A.(0,2)

B.(0,-3)

C.(0,3)

D.(0,6)

考点 抛物线的定义

题点 抛物线定义的直接应用

答案 C

解析 直线 y+3=0 是抛物线 x2=12y 的准线,由抛物线的定义,知抛物线上的点到直线

y=-3 的距离与到焦点(0,3)的距离相等,所以此圆恒过定点(0,3).

5.已知点 P 是抛物线 x2=4y 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影是点 Q,点 A 的坐标是(8,7),

则|PA|+|PQ|的最小值为(  )

A.7B.8C.9D.10

考点 抛物线的定义

题点 抛物线定义与其他知识结合的应用

答案 C

解析 抛物线的焦点为 F(0,1),准线方程为 y=-1,根据抛物线的定义知,

|PF|=|PM|=|PQ|+1.

∴|PA|+|PQ|=|PA|+|PM|-1=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1= 82+?7-1?2-1=10-1=9.

当且仅当 A,P,F 三点共线时,等号成立,则|PA|+|PQ|的最小值为 9.故选 C.

6.如果 P1,P2,…,Pn 是抛物线 C:y2=4x 上的点,它们的横坐标依次为 x1,x2,…,xn,F 是抛物线 C 的焦点,若 x1+x2+…+xn=10,则|P1F|+|P2F|+…+|PnF| 等于(  )

A.n+10

B.n+20

C.2n+10

D.2n+20

考点 抛物线的定义

题点 抛物线定义的直接应用

答案 A

解析 由抛物线的方程 y2=4x 可知其焦点为(1,0),准线为 x=-1,由抛物线的定义可知

|P1F|=x1+1,|P2F|=x2+1,…,|PnF|=xn+1,所以 |P1F|+|P2F|+…+|PnF|=x1+1+x2+1+…+xn+1=(x1+x2+…+xn)+n=n+10,故选 A.

7.已知直线 l 与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点,且 l 经过抛物线的焦点 F,A 点的坐标为

(8,8),则线段 AB 的中点到准线的距离是(  ) 25 25 25
A. 4 B. 2 C. 8 D.25 考点 抛物线的定义

题点 抛物线定义与其他知识结合的应用

答案 A 4
解析 抛物线的焦点 F 坐标为(2,0),直线 l 的方程为 y=3(x-2).
( ) 1 ,-2 由Error!得 B 点的坐标为 2

∵抛物线的准线方程为 x=-2, 1 25
∴|AB|=|AF|+|BF|=2+8+2+2= 2 , 25
∴AB 的中点到准线的距离为 4 . 二、填空题

8.抛物线 y=2x2 的焦点坐标为________.

考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程

题点 求抛物线的焦点坐标

( )1
0, 答案  8

( ) 1

1

1

0,

解析 ∵抛物线 y=2x2 的标准方程为 x2=2y,∴p=4,故焦点坐标为 8 .

( )1
1, 9.已知抛物线 y=2px2(p>0)的焦点为 F,点 P 4 在抛物线上,过点 P 作 PQ 垂直于抛

物线的准线,垂足为点 Q,若抛物线的准线与对称轴相交于点 M,则四边形 PQMF 的面积

为________.

考点 抛物线的标准方程

题点 抛物线方程的应用

13 答案  8

( )1

1

1,

解析 由点 P 4 在抛物线上,得 p=8,故抛物线的标准方程为 x2=4y,焦点 F(0,1),准

线方程为 y=-1,

15 ∴|FM|=2,|PQ|=1+4=4,|MQ|=1,

( ) 1 5

13

+2

则直角梯形 PQMF 的面积为2× 4 ×1= 8 .

x2 y2

10.以椭圆16+ 9 =1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________.

考点 抛物线的标准方程

题点 求抛物线的标准方程

答案 y2=16x

x2 y2 解析 ∵椭圆的方程为16+ 9 =1,∴右顶点为(4,0).

设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0),

p 则2=4,即 p=8,∴抛物线的标准方程为 y2=16x.

11.已知 P 为抛物线 y2=4x 上的任意一点,记点 P 到 y 轴的距离为 d,对于定点 A(4,5),

|PA|+d 的最小值为________.

考点 抛物线的定义

题点 抛物线定义与其他知识结合的应用 答案  34-1

解析 抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线 l:x=-1.

由题意得 d=|PF|-1,

∴|PA|+d≥|AF|-1= ?4-1?2+52-1= 34-1,

当且仅当 A,P,F 三点共线时, |PA|+d 取得最小值 34-1.

三、解答题

12.如图,已知抛物线 y2=2x 的焦点为 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A(3,2),求

|PA|+|PF|的最小值,并求此时 P 点的坐标.

考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义与其他知识结合的应用 解 将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x, 得 y=± 6.

∵ 6>2,∴A 在抛物线内部. 1
设抛物线上动点 P 到准线 l:x=-2的距离为 d, 由抛物线的定义,知|PA|+|PF|=|PA|+d.
7 当 PA⊥l 时,|PA|+d 最小,最小值为2,
7 即|PA|+|PF|的最小值为2, 此时 P 点的纵坐标为 2,代入 y2=2x,得 x=2,
∴P 点的坐标为(2,2). 13.如图所示,抛物线 C 的顶点为坐标原点 O,焦点 F 在 y 轴上,准线 l 与圆 x2+y2=1 相 切.

(1)求抛物线 C 的方程; F→B
(2)若点 A,B 都在抛线 C 上,且 = O→ A 2 ,求点 A 的坐标. 考点 抛物线的标准方程

题点 求抛物线的方程

p 解 (1)依题意,可设抛物线 C 的方程为 x2=2py(p>0),其准线 l 的方程为 y=-2. ∵准线 l 与圆 x2+y2=1 相切,
( )p
- ∴圆心(0,0)到准线 l 的距离 d=0- 2 =1, 解得 p=2.故抛物线 C 的方程为 x2=4y.

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),

则Error!由题意得 F(0,1),

F→B

O→ A

∴ =(x2,y2-1), =(x1,y1),

F→B O→A ∵ =2 ,

∴(x2,y2-1)=2(x1,y1)=(2x1,2y1), 即Error!代入②得 4x21=8y1+4,

即 x21=2y1+1,

又 x21=4y1,所以 4y1=2y1+1,

1

解得 y1=2,x1=± 2,

( ) ( ) 1

1

2, - 2,

即点 A 的坐标为 2 或

2.

四、探究与拓展

14.设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5.若以 MF 为直径的圆

过点(0,2),则 C 的方程为(  )

A.y2=4x 或 y2=8x

B.y2=2x 或 y2=8x

C.y2=4x 或 y2=16x

D.y2=2x 或 y2=16x

考点 抛物线的标准方程

题点 求抛物线的方程

答案 C

( )p ,0 解析 抛物线的焦点为 F 2 .

不妨设点 M 在第一象限,

( ( )) p

p

5- , 2p 5-

由抛物线的定义,得 M 2

2.

设 N 点坐标为(0,2).

因为圆过点 N(0,2),所以 NF⊥NM,

( )p

2p 5- -2

2

2

p - 即 2×

p 5-
2

=-1.①

( )p

p 5-



2 =t,

则①式可化为 t2-4 2t+8=0,解得 t=2 2,

即 p2-10p+16=0,解得 p=2 或 p=8.

( )7 ,4 15.已知抛物线 y2=2px(p>0)上的一点 M 到定点 A 2 和焦点 F 的距离之和的最小值等

于 5,求抛物线的方程.

考点 抛物线的标准方程

题点 求抛物线的方程

p 解 抛物线的准线为 l:x=-2.
7 ①当点 A 在抛物线内部时,42<2p·2,
16 即 p> 7 时,过 M 作 MA′⊥l,垂足为 A′,

则|MF|+|MA|=|MA′|+|MA|.

当 A,M,A′共线时,(|MF|+|MA|)min=5,

p7

16

即2+2=5,∴p=3,满足 p> 7 ,

∴抛物线方程为 y2=6x.

7 ②当点 A 在抛物线外部时,42>2p·2,
16 即 p< 7 时,|MF|+|MA|≥|AF|,

当 A,M,F 共线时取等号,|AF|=5,

( )7 p

- 2+?4-0?2

即2 2

=5,

∴p=1 或 p=13(舍), ∴抛物线方程为 y2=2x.
16 ③当点 A 在抛物线上,即 p= 7 时,结合②明显不成立. 综上,抛物线方程为 y2=6x 或 y2=2x.



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